L’origine du problème de l’infini dans la pensée grecque : les nombres irrationnels, l’incommensurable Pythagore et son courant de pensée considèrent que tout est régi par les nombres : il s’agit d’une certaine mystique. En musique, son école va montrer la relation entre la longueur des cordes et la hauteur de la note : des rapports esthétiques et mathématiques. Le nombre régit tous les phénomènes du réel, c’est le nombre rationnel. Cette même école pythagoricienne découvre la notion d’incommensurable grâce au théorème de Pythagore (a2 +b2 = c2). Léon Brunswich résume la découverte à la question qu’il est impossible de trouver un rationnel dont le carré soit 2. La racine carrée de 2 ne peut s’exprimer ni sous la forme d’une fraction ni sous la forme d’un entier. Les pythagoriciens s’aperçoivent que ce cas n’est pas isolé et que leur théorie des nombres rationnels est remise en question. On calcule alors π (= 3, 1416) et on voit qu’il s’agit d’une suite de termes, infinis, qui ne sont pas ordonnés, mais qui est pourtant unique, dont la singularité est irréfutable. Le problème est qu’il reste impossible de prévoir le chiffre qui va suivre et que celui-ci est pourtant déterminé (s’il n’était pas fixé, le nombre ne serait pas le même). Il en découle une certaine régularité interne qui jamais ne s’arrête. Certaines distances du monde deviennent incommensurables. Il existe des grandeurs géométriques qui ne peuvent pas s’exprimer par des grandeurs analytiques, numériques. Les pythagoriciens voient là une offense à leurs théories. Le monde doit utiliser des valeurs approchées, il se base donc sur des valeurs fausses. Les Grecs vont démontrer l’incommensurabilité du nombre irrationnel. Brunswich déclare, par l’absurde, qu’il y a une incompatibilité entre un nombre rationnel et l’application du théorème de Pythagore à un triangle rectangle isocèle. Pour pouvoir écrire un irrationnel, il faudra se donner l’infini. Les Grecs font donc l’expérience de l’incommensurable d’une figure géométrique, démontrant ainsi l’existence d’un irrationnel qui nous échappera toujours : l’infini. Ils ont mathématiquement démontré une impossibilité mathématique.