L’origine du problème de l’infini dans la pensée grecque : les nombres irrationnels, l’incommensurable Pythagore et son courant de pensée considèrent que tout est régi par les nombres : il s’agit d’une certaine mystique. En musique, son école va montrer la relation entre la longueur des cordes et la hauteur de la note : des rapports esthétiques et mathématiques. Le nombre régit tous les phénomènes du réel, c’est le nombre rationnel. Cette même école pythagoricienne découvre la notion d’incommensurable grâce au théorème de Pythagore (a2 +b2 = c2). Léon Brunswich résume la découverte à la question qu’il est impossible de trouver un rationnel dont le carré soit 2. La racine carrée de 2 ne peut s’exprimer ni sous la forme d’une fraction ni sous la forme d’un entier. Les pythagoriciens s’aperçoivent que ce cas n’est pas isolé et que leur théorie des nombres rationnels est remise en question. On calcule alors π (= 3, 1416) et on voit qu’il s’agit d’une suite de termes, infinis, qui ne sont pas ordonnés, mais qui est pourtant unique, dont la singularité est irréfutable. Le problème est qu’il reste impossible de prévoir le chiffre qui va suivre et que celui-ci est pourtant déterminé (s’il n’était pas fixé, le nombre ne serait pas le même). Il en découle une certaine régularité interne qui jamais ne s’arrête. Certaines distances du monde deviennent incommensurables. Il existe des grandeurs géométriques qui ne peuvent pas s’exprimer par des grandeurs analytiques, numériques. Les pythagoriciens voient là une offense à leurs théories. Le monde doit utiliser des valeurs approchées, il se base donc sur des valeurs fausses. Les Grecs vont démontrer l’incommensurabilité du nombre irrationnel. Brunswich déclare, par l’absurde, qu’il y a une incompatibilité entre un nombre rationnel et l’application du théorème de Pythagore à un triangle rectangle isocèle. Pour pouvoir écrire un irrationnel, il faudra se donner l’infini. Les Grecs font donc l’expérience de l’incommensurable d’une figure géométrique, démontrant ainsi l’existence d’un irrationnel qui nous échappera toujours : l’infini. Ils ont mathématiquement démontré une impossibilité mathématique.
L’infini et le Dieu créateur Avec le judaïsme et la religion chrétienne, apparaît un Dieu créateur. C’est la représentation d’une puissance absolue, d’une liberté et d’une perfection. La notion d’infini devient abyssale, le sublime en devient une composante. On est loin de la pensée grecque dans laquelle le mystique était totalement absent. On découvre alors un espace vide, infini. Le monde perd ses références, il n’y a plus de centre. Il devient difficile de voir Dieu dans l’ordre du monde. C’est le début d’une prodigieuse crise culturelle. L’infini et le Dieu créateur
L’infini : notion négative ou positive ? Pour les Grecs, l’infini conduisait à des paradoxes : les paradoxes de Zénon. La notion avait une connotation négative, péjorative, à part peut-être pour les Épicuriens. Deux révolutions vont tout changer et vont apporter à cette notion des aspects positifs. La première de ces révolutions est religieuse : c’est celle qui marque la fin des religions antiques et donc la fin de la sagesse philosophique grecque pour laquelle il fallait vivre dans le monde qui nous entoure dans le respect des données universelles qu’ont léguées les dieux. Cette révolution réside dans le passage aux cultures judaïques (avec une conciliation entre le message divin et la sagesse grecque, une dualité entre un Dieu parfait et supérieur à toute qualification humaine et un monde fini et imparfait, livré au mal) et chrétiennes (une pensée autonome face à la pensée grecque, une religion exclusivement liée à l’existence d’un divin unique, créateur du monde, tout puissant sur l’humanité). La deuxième de ces révolutions est scientifique. Jusqu’à la fin du XVIe, début du XVIIe siècle, c’est la pensée d’Aristote qui domine. Les découvertes de Galilée vont bouleverser les conceptions en place. Rappelons qu’Aristote est un philosophe grec né en 380 avant JC. Il fonde sa conception du monde sur des études approfondies du mouvement : la Terre se trouve au centre d’un monde clos, le cosmos. C’est un monde ordonné, découlant d’un système élaboré qui permet d’expliquer les phénomènes observés. Galilée, à la fin du XVIe siècle, met en place une vérité scientifique démontrable et vérifiable : la Terre et les autres planètes tournent sur elles-mêmes et autour du Soleil. Le système solaire n’est qu’une infime partie de l’Univers. Ces révélations scientifiques apportent aux philosophes de nouveaux éléments de référence : la notion d’infini prend une dimension différente. À l’espace fini du monde aristotélicien fait place un espace infini, vide.
Zénon d’Élée Zénon d’Élée, philosophe grec né en 490 av. J.-C., niait la réalité du mouvement au moyen de paradoxes. Il en a tiré une philosophie de l’immuabilité de l’être. Ces paradoxes sont connus sous le nom de « mythe de la flèche » ( la flèche n’atteint jamais la cible ) ou «Achille et la tortue» ( en décomposant le mouvement, on observe que le déplacement d’Achille [ ou de la flèche ] pour rattraper la tortue [ atteindre la cible ] est insuffisant puisque la tortue s’est déplacée dans le même temps et ainsi jusqu’à l’infini ).